Linear Algebra · Playable Lab

線代互動實驗室：從「內積」一路玩到 PCA

六關，每一關都可以拖、可以拉、可以按。你動一下，圖跟數字跟解讀句一起變 —— 目標不是讓你會算，而是讓你看得見這些名詞到底在幹嘛，然後能講給別人聽。

整套教材只有一條主線

六關全部是同一句話的展開，把這句話記起來，你就有整張地圖：

內積問「你們同方向嗎」 → 一欄資料跟自己內積 = 變異數 → 兩欄互相內積 = 共變異數 → 全部排成方陣 = 共變異數矩陣 → 問這個方陣「哪個方向最散開」 → 答案就是它的特徵向量 = PCA 主軸
一句話總結 標準差、共變異數、特徵向量、PCA 這四個看起來毫不相干的名詞， 其實是同一個內積在四種場合換了四個名字。這套實驗室就是要讓你親眼看到那四個名字是怎麼長出來的。

概念地圖：誰生出誰

每一格都可以點，直接跳到那個概念的互動實驗。箭頭的方向是「誰是誰的前置」。

01 內積 02 散開程度 03 共變異數 04 特徵向量 05 PCA

卷二 → 卷三：從一堆點，到約束下的最優解

卷一（上圖）把線性代數的工具備齊。卷二把「一堆點」升級成「一個分布」，卷三教你在約束下挑最好的那一個。 這兩卷不是新主題，是把卷一沒交代的前置補起來。

你會被回答的問題

這些就是「學線代最容易卡住」的問題。點任何一條，直接跳到會回答它的那個互動段落。

四卷 · 十六關

照號碼走就對了。卷一 01–07 線性代數（06 是補課包，隨時可插隊）→ 卷二 08–12 機率統計 × 線代 → 卷三 13–15 最佳化 → 卷四 16 全景與驗收。

怎麼玩

RULE 01

先亂拖一通，再看文字

每張圖上的實心圓點都可以拖。先把它拖到極端位置（拖到重疊、拖到反方向、拖到很遠）， 看數字怎麼爆掉 —— 直覺是這樣長出來的，不是讀出來的。

RULE 02

每個數字旁邊都有一句人話

讀數盤旁邊那句會跟著變的解讀句才是重點。如果你只看到數字在跳、看不懂那句話， 就回到該節開頭的「從你已經會的東西開始」重讀一次。

RULE 03

每關結尾都要自我驗收

每關最後的 ? 清單就是那一關的考卷：先自己回答，再點開對答案。 答不出來的那條，上面一定有對應的互動可以回去再玩一次。

RULE 04

順著走，不要跳關

04（特徵向量）如果沒有 01 的內積和 03 的共變異數矩陣墊底，會變成純背公式。 主線 01–06 一輪大約 60–90 分鐘，卡住就往回一關，不要硬撐；延伸的 07–10 一關約 15–25 分鐘。

先講清楚：這裡的數字是真的還是編的

所有資料集都是合成的（寫死在各關的原始碼裡，固定不變，你重整頁面也不會變）。 理由很簡單：教材要能讓你「拖一個點，看它怎麼影響結論」， 真實資料反而會讓那個因果被雜訊蓋掉。

但所有的計算都是真的 —— 變異數、共變異數、特徵向量、主成分分數， 全部由 assets/lab.js 當場算出來，沒有任何一個數字是手打上去的。 想換成自己的資料，改各關原始碼裡那個資料陣列就行。